Hola, yo no tengo chinchillas pero soy veterinaria y tengo un hurón que también sufren lo suyo con el calor en verano (yo vivo en Málaga).
Lo primero, obviamente, es colocar su jaula en el lugar más fresco de la casa evitando las corrientes de aire.
Otra opción, que yo he hecho con mi hurón y el pobre agradece bastante, es meterle en la jaula un azulejo o una bandeja de metal. Estos dos materiales suelen estar más frescos en comparación con el ambiente y les aliviará mucho el calor tumbarse encima. También le cambio todos los días el agua por agua que he tenido en la nevera.
Luego por trucos que he ido leyendo se que hay gente que le mete botellas con agua del congelador que va cambiando cada día para que el animal juegue con ellas y se refresque, tienen que estar enrolladas en un trapo o algo para que si le da por roer no termine empapada.
Procura no sacarla durante el día, mejor por la noche o a primera hora de la mañana y ponle los baños de arena en la nevera para que cuando lo use le valga también para refrescarse.